MAPA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

QUESTÃO 1 As equações diferenciais são ferramentas matemáticas fundamentais para modelar sistemas dinâmicos onde a taxa de variação de uma grandeza depende de seu próprio estado atual. Quando a equação envolve apenas a primeira derivada da função incógnita, como no cálculo de taxas de crescimento populacional ou no escoamento de fluidos, estamos diante de uma equação diferencial de primeira ordem. Já quando o modelo exige a análise da aceleração ou da concavidade de um sistema — incorporando a segunda derivada —, ela é classificada como de segunda ordem, sendo o pilar para descrever vibrações mecânicas, circuitos elétricos complexos e ondas.Resolver essas equações permite prever o comportamento futuro de um fenômeno a partir de suas condições iniciais bem definidas.

Com base nesses conceitos estruturais de modelagem, analise o problema a seguir.

Fonte: elaborado pelo professor, 2026.À luz dos conhecimentos dos conteúdos abordados na disciplina de Cálculo III, resolva as três questões a seguir.

Questão 01

Em uma escola, o acompanhamento da quantidade de água armazenada em uma caixa-d'água pode ser descrito por um balanço entre a água que entra e a água que sai do reservatório. A equação diferencial a seguir representa essa variação do volume de água ao longo do tempo, considerando o abastecimento e o consumo diário da escola.$$\frac{dV}{dt} = 10 - (11 + 1,2t)$$

Nessa equação diferencial, a variação do volume de água no reservatório ao longo do tempo é igual ao volume de entrada menos o volume de saída, ambos expressos em litro/dia.

Considerando o volume inicial do reservatório de 1.000 litros e a equação diferencial apresentada acima, calcule o tempo para o qual a quantidade de água armazenada nessa escola seja nula.

Questão 02

Equações diferenciais de segunda ordem, homogêneas e com coeficientes constantes são equações que envolvem a segunda derivada de uma função, igualadas a zero. Elas descrevem sistemas lineares, como vibrações físicas, onde a resposta depende de constantes e da própria função. As soluções dessas equações diferenciais são combinações lineares de duas funções base linearmente independentes, que por sua vez formam uma família que representa o comportamento do sistema, geralmente utilizando funções exponenciais, seno ou cosseno, dependendo das raízes da equação característica.

Fonte: elaborado pelo professor, 2026.

Com base nessas informações, escreva a solução geral da equação diferencial de segunda ordem, homogêneas e com coeficientes constantes em que a equação característica tem uma raiz complexa do tipo $\sqrt{2} + \pi i$.